計算機代數系統

計算機代數系統（Computer Algebra System, 簡稱 CAS），計算機代數(Computer Algebra)在很多時候又被廣義地理解為「符號計算」(Symbolic Computation), 成為與所謂「數值計算」(Numerical Computation)相對的概念。「符號」的運算在這裡代替了「數」的運算。符號可以代表整數, 有理數, 實數和複數, 也可以代表多項式, 函數, 還可以代表數學結構如集合, 群, 環, 代數等等。我們在學習和研究中用筆和紙進行的數學運算多為符號運算。

代數功能

計算機代數系統能計算代數式，與傳統的數值運算不同的是，計算機代數系統把一個字符串（比如 $x$）視作一個「符號」而不是一個「值」。對於計算機來說，下列的算式都屬於代數運算的範疇，都需要計算機代數系統才能計算：

代數式的化簡

最簡單的計算機代數系統示例就是代數式的化簡，好比是數值運算里的 $1+1=2$ 。

$a+a=2a$

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$

代數式的微積分、極限、三角函數、指數函數

$\underset{}{\overset{}{\int }}\sin (\ln (x))dx=\frac{x\sin (\ln (x))}{2}-\frac{x\cos (\ln (x))}{2}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{x}^x=x^x(\ln (x)+1)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin (x)}=1$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-\cos (x)}{x^2}dx=\pi$

代數式的求和與求積

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=-\frac{1}{n}$

多項式的因式分解和展開

$factor(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

$expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))=x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120$

使用特徵方程法求解數列通項公式

$rSolve(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,a_n,[a_1=1,a_2=1])=\frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$

矩陣的超越函數

$\sqrt{\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 6& 3\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cc}\frac{2\sqrt{7}+3\sqrt{3}i}{5}& \frac{2\sqrt{7}-2\sqrt{3}i}{5}\\ \frac{3\sqrt{7}-3\sqrt{3}i}{5}& \frac{3\sqrt{7}+2\sqrt{3}i}{5}\end{array}\right)$

其他功能

有些算式看起來屬於數值運算的範疇，但是它們也需要計算機代數系統才能計算，或者才能得到正確結果。

高精度求值

有時所需要的精度已經遠遠超出了二進制直接處理所能容納的精度，必須把數值作為「符號」看待時，也屬於計算機代數系統的範疇

$2^{2^8}=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936$

精確數值運算

有時候需要把一些類似於 $\pi$、$e$ 的常數代入算式中求值，並將其視作一個特殊的「符號」而不是它的值，或者希望輸出時可以獲取帶有這些常數的結果，如 $\frac{3\pi }{2}$ 時，也屬於計算機代數系統的範疇。

$\sin (2\pi )=0$

${\sin }^{-1}(1)=\frac{\pi }{2}$

需要注意的是，很多函數計算器，比如 CASIO fx-82CN X，CASIO fx-82ES，TI-36X等，都支持像上面這樣計算算式，但是計算的實質是近似看待，不屬於計算機代數系統的範疇。例如，這些計算器在計算的時候，只能顯示帶一重根號或帶有 $\pi$ 的結果，而不能顯示帶多重根號的結果：

$\sin (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

${\sin }^{-1}(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2})=\frac{1}{8}\pi$

$\sin (\frac{\pi }{8})=0.3826834324$

另一個表現就是對於某些十分近似的式子可能會產生錯誤的結果：

例如，在 CASIO 的 ES 或者 ClassWiz 系列函數機中，計算下面這個式子，會得到一個含有 $\pi$ 的答案：

$9^{6^{6^{6^{-3}}}}=\frac{346502623}{1680}\pi$

然而這個答案是錯誤的，或者說是不精確的，經過計算可得：

$9^{6^{6^{6^{-3}}}}-\frac{346502623}{1680}\pi \approx 5.21540641785\times 10^{-8}$

大數求和求積

如果數值求和求積並不會以傳統方式進行循環，而是先計算代數結果再代入計算以提高速度，這也屬於計算機代數系統的範疇，例如，在TI-Nspire CAS計算器中，默認設置的情況下：

這個式子將會被視作數值運算並以數值運算方式進行：$\sum _{x=1}^{10000}x=50005000$

這個式子將會被視作代數運算並使用計算機代數系統：$\sum _{x=1}^{100000000}x=5000000050000000$

擁有計算機代數系統的計算器

請勿大量羅列
此處僅列舉同類事物的典型事例。您可以繼續添加，但是添加的事例必須具有代表性。

此處僅列舉自帶計算機代數系統的計算器，通過安裝插件（如 CASIO fx-CG20 可以通過安裝 Eigenmath 來實現計算機代數系統）或者某些程序（如 不帶CAS功能的黑白屏 TI-84 Plus 安裝 Zoom500 來實現計算機代數系統）則不會被列入此列表中。

卡西歐

• ClassPad 系列： fx-CP400, ClassPad 330 PLUS, ClassPad 330, ClassPad 300 PLUS， ClassPad 300
• AFX 系列： ALGEBRA FX 2.0， ALGEBRA FX 2.0 PLUS

德州儀器

• TI-Nspire CAS系列：TI-Nspire CAS，TI-Nspire CX CAS，TI-Nspire CX-C CAS，TI-Nspire CM-C CAS
• 68k系列：TI-92，TI-92 Plus，Voyaga 200，TI-89，TI-89 Titanium

惠普

• HP-Prime Prime 系列：HP-Prime
• HP-Apple 系列：HP-40GS，HP-50G

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支持計算機代數系統的計算軟件

開源軟件

• Xcas/Giac
• Eigenmath

商業軟件

• Wolfram Mathematica
• Maple
• MATLAB