计算机代数系统

计算机代数系统（Computer Algebra System, 简称 CAS），计算机代数(Computer Algebra)在很多时候又被广义地理解为“符号计算”(Symbolic Computation), 成为与所谓“数值计算”(Numerical Computation)相对的概念。“符号”的运算在这里代替了“数”的运算。符号可以代表整数, 有理数, 实数和复数, 也可以代表多项式, 函数, 还可以代表数学结构如集合, 群, 环, 代数等等。我们在学习和研究中用笔和纸进行的数学运算多为符号运算。

代数功能

计算机代数系统能计算代数式，与传统的数值运算不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 $x$ ）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：

代数式的化简

最简单的计算机代数系统示例就是代数式的化简，好比是数值运算里的 $1+1=2$ 。

  
        a
        +
        a
        =
        2
        a
      
    {\displaystyle a+a=2a}

  
              x
              
                2
              
        =
        
          |
          x
          |
        
    {\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left\vert x\right\vert }

代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数

  
          ∫
          
        sin
        ⁡
        (
        ln
        ⁡
        (
        x
        )
        )
        
        d
        x
        =
        
              x
              sin
              ⁡
              (
              ln
              ⁡
              (
              x
              )
              )
            
            2
          
        −
        
              x
              cos
              ⁡
              (
              ln
              ⁡
              (
              x
              )
              )
            
            2
          
    {\displaystyle \int _{}^{}\sin(\ln(x))\,dx={\frac {x\sin(\ln(x))}{2}}-{\frac {x\cos(\ln(x))}{2}}}

  
              d
              
              y
            
              d
              
              x
            
          x
          
            x
          
        =
        
          x
          
            x
          
        (
        ln
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        1
        )
      
    {\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}x^{x}=x^{x}(\ln(x)+1)}

  
          lim
          
            x
            →
            0
          
            x
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
        =
        1
      
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin(x)}}=1}

  
          ∫
          
            −
            ∞
          
            +
            ∞
          
              1
              −
              cos
              ⁡
              (
              x
              )
            
              x
              
                2
              
        d
        x
        =
        π
      
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}\,dx=\pi }

代数式的求和与求积

  
          ∑
          
            k
            =
            1
          
            n
          
            1
            
              k
              (
              k
              +
              1
              )
            
        =
        −
        
            1
            n
          
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=-{\frac {1}{n}}}

多项式的因式分解和展开

  
    
      
        f
        a
        c
        t
        o
        r
        (
        
          x
          
            5
          
        
        −
        15
        
          x
          
            4
          
        
        +
        85
        
          x
          
            3
          
        
        −
        225
        
          x
          
            2
          
        
        +
        274
        x
        −
        120
        )
        =
        (
        x
        −
        1
        )
        (
        x
        −
        2
        )
        (
        x
        −
        3
        )
        (
        x
        −
        4
        )
        (
        x
        −
        5
        )
      
    
    {\displaystyle factor(x^{5}-15x^{4}+85x^{3}-225x^{2}+274x-120)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}
  

  
    
      
        e
        x
        p
        a
        n
        d
        (
        (
        x
        +
        1
        )
        (
        x
        +
        2
        )
        (
        x
        +
        3
        )
        (
        x
        +
        4
        )
        (
        x
        +
        5
        )
        )
        =
        
          x
          
            5
          
        
        +
        15
        
          x
          
            4
          
        
        +
        85
        
          x
          
            3
          
        
        +
        225
        
          x
          
            2
          
        
        +
        274
        x
        +
        120
      
    
    {\displaystyle expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))=x^{5}+15x^{4}+85x^{3}+225x^{2}+274x+120}
  

使用特征方程法求解数列通项公式

  
        r
        S
        o
        l
        v
        e
        (
        
          a
          
            n
            +
            2
          
        =
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        +
        
          a
          
            n
          
        ,
        
          a
          
            n
          
        ,
        [
        
          a
          
            1
          
        =
        1
        ,
        
          a
          
            2
          
        =
        1
        ]
        )
        =
        
              5
            
            5
          
        (
        
              1
              +
              
                  5
                
            2
          
          )
          
            n
          
        −
        
              5
            
            5
          
        (
        
              1
              −
              
                  5
                
            2
          
          )
          
            n
          
    {\displaystyle rSolve(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n},a_{n},[a_{1}=1,a_{2}=1])={\frac {\sqrt {5}}{5}}({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}-{\frac {\sqrt {5}}{5}}({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}}

矩阵的超越函数

  
              (
              
                    1
                  
                    4
                  
                    6
                  
                    3
                  
              )
            
        =
        
            (
            
                        2
                        
                            7
                          
                        +
                        3
                        
                            3
                          
                        i
                      
                      5
                    
                        2
                        
                            7
                          
                        −
                        2
                        
                            3
                          
                        i
                      
                      5
                    
                        3
                        
                            7
                          
                        −
                        3
                        
                            3
                          
                        i
                      
                      5
                    
                        3
                        
                            7
                          
                        +
                        2
                        
                            3
                          
                        i
                      
                      5
                    
            )
          
    {\displaystyle {\sqrt {\begin{pmatrix}1&4\\6&3\end{pmatrix}}}={\begin{pmatrix}{\frac {2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}}i}{5}}&{\frac {2{\sqrt {7}}-2{\sqrt {3}}i}{5}}\\{\frac {3{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}}i}{5}}&{\frac {3{\sqrt {7}}+2{\sqrt {3}}i}{5}}\end{pmatrix}}}

其他功能

有些算式看起来属于数值运算的范畴，但是它们也需要计算机代数系统才能计算，或者才能得到正确结果。

高精度求值

有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴

  
          2
          
              2
              
                8
              
        =
        115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936
      
    {\displaystyle 2^{2^{8}}=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936}

精确数值运算

有时候需要把一些类似于 $\pi$ 、 $e$ 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 ${\frac {3\pi }{2}}$ 时，也属于计算机代数系统的范畴。

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        2
        π
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sin(2\pi )=0}
  

  
          sin
          
            −
            1
          
        ⁡
        (
        1
        )
        =
        
            π
            2
          
    {\displaystyle \sin ^{-1}(1)={\frac {\pi }{2}}}

需要注意的是，很多函数计算器，比如 CASIO fx-82CN X，CASIO fx-82ES，TI-36X等，都支持像上面这样计算算式，但是计算的实质是近似看待，不属于计算机代数系统的范畴。例如，这些计算器在计算的时候，只能显示带一重根号或带有 $\pi$ 的结果，而不能显示带多重根号的结果：

  
        sin
        ⁡
        (
        
            π
            4
          
        )
        =
        
              2
            
            2
          
    {\displaystyle \sin({\frac {\pi }{4}})={\frac {\sqrt {2}}{2}}}

  
          sin
          
            −
            1
          
        ⁡
        (
        
              2
              −
              
                  2
                
            2
          
        )
        =
        
            1
            8
          
        π
      
    {\displaystyle \sin ^{-1}({\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}})={\frac {1}{8}}\pi }

  
        sin
        ⁡
        (
        
            π
            8
          
        )
        =
        0.3826834324
      
    {\displaystyle \sin({\frac {\pi }{8}})=0.3826834324}

另一个表现就是对于某些十分近似的式子可能会产生错误的结果：^[1]

例如，在 CASIO 的 ES 或者 ClassWiz 系列函数机中，计算下面这个式子，会得到一个含有 $\pi$ 的答案：

  
          9
          
              6
              
                  6
                  
                      6
                      
                        −
                        3
                      
        =
        
            346502623
            1680
          
        π
      
    {\displaystyle 9^{6^{6^{6^{-3}}}}={\frac {346502623}{1680}}\pi }

然而这个答案是错误的，或者说是不精确的，经过计算可得：

  
          9
          
              6
              
                  6
                  
                      6
                      
                        −
                        3
                      
        −
        
            346502623
            1680
          
        π
        ≈
        5.21540641785
        ×
        
          10
          
            −
            8
          
    {\displaystyle 9^{6^{6^{6^{-3}}}}-{\frac {346502623}{1680}}\pi \approx 5.21540641785\times 10^{-8}}

大数求和求积

如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在TI-Nspire CAS计算器中，默认设置的情况下：

这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：
  
          ∑
          
            x
            =
            1
          
            10000
          
        x
        =
        50005000
      
    {\displaystyle \sum _{x=1}^{10000}x=50005000}

这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：
  
          ∑
          
            x
            =
            1
          
            100000000
          
        x
        =
        5000000050000000
      
    {\displaystyle \sum _{x=1}^{100000000}x=5000000050000000}

拥有计算机代数系统的计算器

请勿大量罗列
此处仅列举同类事物的典型事例。您可以继续添加，但是添加的事例必须具有代表性。

此处仅列举自带计算机代数系统的计算器，通过安装插件（如 CASIO fx-CG20 可以通过安装 Eigenmath 来实现计算机代数系统）或者某些程序（如不带CAS功能的黑白屏 TI-84 Plus 安装 Zoom500^[2] 来实现计算机代数系统）则不会被列入此列表中。

支持计算机代数系统的计算软件

开源软件

Xcas/Giac
Eigenmath

商业软件

参考

[1] 给函数机们出道数学题 - cnCalc论坛

[2] Zoom500官方介绍页面

[1]

[2]