计算机代数系统：修订间差异

2018年2月17日 (六) 13:38的最新版本

计算机代数系统（Computer Algebra System, 简称 CAS），计算机代数(Computer Algebra)在很多时候又被广义地理解为“符号计算”(Symbolic Computation), 成为与所谓“数值计算”(Numerical Computation)相对的概念。“符号”的运算在这里代替了“数”的运算。符号可以代表整数, 有理数, 实数和复数, 也可以代表多项式, 函数, 还可以代表数学结构如集合, 群, 环, 代数等等。我们在学习和研究中用笔和纸进行的数学运算多为符号运算。

代数功能

计算机代数系统能计算代数式，与传统的数值运算不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 $x$ ）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：

代数式的化简

最简单的计算机代数系统示例就是代数式的化简，好比是数值运算里的 $1 + 1 = 2$ 。

a+a=2a

x2=|x|

代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数

∫sin⁡(ln⁡(x))dx=xsin⁡(ln⁡(x))2−xcos⁡(ln⁡(x))2

d⁡yd⁡xxx=xx(ln⁡(x)+1)

limx→0xsin⁡(x)=1

∫−∞+∞1−cos⁡(x)x2dx=π

代数式的求和与求积

∑k=1n1k(k+1)=−1n

多项式的因式分解和展开

factor(x5−15x4+85x3−225x2+274x−120)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)

expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))=x5+15x4+85x3+225x2+274x+120

使用特征方程法求解数列通项公式

rSolve(an+2=an+1+an,an,[a1=1,a2=1])=55(1+52)n−55(1−52)n

矩阵的超越函数

(1463)=(27+33i527−23i537−33i537+23i5)

其他功能

有些算式看起来属于数值运算的范畴，但是它们也需要计算机代数系统才能计算，或者才能得到正确结果。

高精度求值

有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴

228=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936

精确数值运算

有时候需要把一些类似于 $π$ 、 $e$ 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 $\frac{3 π}{2}$ 时，也属于计算机代数系统的范畴。

sin⁡(2π)=0

sin−1(1)=π2

需要注意的是，很多函数计算器，比如 CASIO fx-82CN X，CASIO fx-82ES，TI-36X等，都支持像上面这样计算算式，但是计算的实质是近似看待，不属于计算机代数系统的范畴。例如，这些计算器在计算的时候，只能显示带一重根号或带有 $π$ 的结果，而不能显示带多重根号的结果：

sin⁡(π4)=22

sin−1(2−22)=18π

sin⁡(π8)=0.3826834324

另一个表现就是对于某些十分近似的式子可能会产生错误的结果：^[1]

例如，在 CASIO 的 ES 或者 ClassWiz 系列函数机中，计算下面这个式子，会得到一个含有 $π$ 的答案：

9666−3=3465026231680π

然而这个答案是错误的，或者说是不精确的，经过计算可得：

9666−3−3465026231680π≈5.21540641785×10−8

大数求和求积

如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在TI-Nspire CAS计算器中，默认设置的情况下：

这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：∑x=110000x=50005000

这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：∑x=1100000000x=5000000050000000

拥有计算机代数系统的计算器

请勿大量罗列
此处仅列举同类事物的典型事例。您可以继续添加，但是添加的事例必须具有代表性。

此处仅列举自带计算机代数系统的计算器，通过安装插件（如 CASIO fx-CG20 可以通过安装 Eigenmath 来实现计算机代数系统）或者某些程序（如不带CAS功能的黑白屏 TI-84 Plus 安装 Zoom500^[2] 来实现计算机代数系统）则不会被列入此列表中。

支持计算机代数系统的计算软件

开源软件

Xcas/Giac
Eigenmath

商业软件

参考

[1] 给函数机们出道数学题 - cnCalc论坛

[2] Zoom500官方介绍页面

[1]

[2]

@@ 第1行： / 第1行： @@
-{{施工中|3小时}}
+'''计算机代数系统'''（Computer Algebra System, 简称 [[CAS]]），计算机代数(Computer Algebra)在很多时候又被广义地理解为“符号计算”(Symbolic Computation), 成为与所谓“[[数值计算]]”(Numerical Computation)相对的概念。“符号”的运算在这里代替了“数”的运算。符号可以代表整数, 有理数, 实数和复数, 也可以代表多项式, 函数, 还可以代表数学结构如集合, 群, 环, 代数等等。我们在学习和研究中用笔和纸进行的数学运算多为符号运算。
-'''计算机代数系统'''（Computer Algebra System, 简称 [[CAS]]），是以字符串为运算单位的计算软件，可以进行数学表达式的符号运算。
-== 功能 ==
+== 代数功能 ==
 计算机代数系统能计算[[代数式]]，与传统的[[数值运算]]不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 <math>x</math>）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：
@@ 第10行： / 第9行： @@
      {{Code|<math>a+a = 2 a</math>}}
      {{Code|<math>\sqrt{x^2} = \left\vert x \right\vert</math>}}
-如果数值运算之前，互为反函数的函数会抵消，从而得出精确解，这也属于计算机代数系统的范畴。
-    {{Code|<math>\sin^{-1}(\cos^{-1}(\tan^{-1}(\tan(\cos(\sin(9)))))) = 9</math>}}
 === 代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数 ===
      {{Code|<math>\int_{}^{} \sin(\ln(x))\,dx = \frac{x\sin(\ln(x))}{2} - \frac{x\cos(\ln(x))}{2}</math>}}
@@ 第17行： / 第15行： @@
      {{Code|<math>\lim_{x \to 0}  \frac{x}{\sin(x)} = 1</math>}}
      {{Code|<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^2}\,dx = \pi</math>}}
 === 代数式的求和与求积 ===
      {{Code|<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = - \frac{1}{n}</math>}}
-如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在[[TI-Nspire CAS]]计算器中，默认设置的情况下：
-    {{Code|这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：<math>\sum_{x=1}^{10000} x = 50005000</math>}}
-    {{Code|这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：<math>\sum_{x=1}^{100000000} x = 5000000050000000</math>}}
 === 多项式的因式分解和展开 ===
      {{Code|<math>factor(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)</math>}}
      {{Code|<math>expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)) = x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120</math>}}
 === 使用特征方程法求解数列通项公式 ===
      {{Code|<math>rSolve(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, a_n, [a_1 = 1, a_2 =1]) = \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n</math>}}
+=== 矩阵的超越函数 ===
+    {{Code|<math>\sqrt{\begin{pmatrix}1 & 4 \\6 & 3\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}\frac{2\sqrt{7} + 3\sqrt{3}i}{5} & \frac{2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}i}{5}\\ \frac{3\sqrt{7} - 3\sqrt{3}i}{5} & \frac{3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}i}{5}\end{pmatrix}</math>}}
+== 其他功能 ==
+有些算式看起来属于数值运算的范畴，但是它们也需要计算机代数系统才能计算，或者才能得到正确结果。
 === 高精度求值 ===
 有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴
      {{Code|<math>2^{2^{8}} = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936</math>}}
 === 精确数值运算 ===
 有时候需要把一些类似于 <math>\pi</math>、<math>e</math> 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 <math>\frac{3 \pi}{2}</math> 时，也属于计算机代数系统的范畴。
      {{Code|<math>\sin(2 \pi) = 0</math>}}
      {{Code|<math>\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}</math>}}
+需要注意的是，很多函数计算器，比如 [[CASIO fx-82CN X]]，[[CASIO fx-82ES]]，[[TI-36X]]等，都支持像上面这样计算算式，但是计算的实质是近似看待，'''不属于'''计算机代数系统的范畴。例如，这些计算器在计算的时候，'''只能显示带一重根号或带有 <math>\pi</math> 的结果'''，而不能显示带多重根号的结果：
+    {{Code|<math>\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}
+    {{Code|<math>\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) = \frac{1}{8}\pi</math>}}
+    {{Code|<math>\sin(\frac{\pi}{8}) = 0.3826834324</math>}}
+另一个表现就是对于某些十分近似的式子可能会产生错误的结果：<ref>[http://www.cncalc.org/thread-9900-1-1.html 给函数机们出道数学题 - cnCalc论坛]</ref>
+例如，在 CASIO 的 [[ES]] 或者 [[ClassWiz]] 系列函数机中，计算下面这个式子，会得到一个含有 <math>\pi</math> 的答案：
+    {{Code|<math>9^{6^{6^{6^{-3}}}} = \frac{346502623}{1680} \pi</math>}}
+然而这个答案是'''{{Color|red|错误}}'''的，或者说是'''{{Color|red|不精确}}'''的，经过计算可得：
+    {{Code|<math>9^{6^{6^{6^{-3}}}} - \frac{346502623}{1680} \pi \approx 5.21540641785 \times 10^{-8}</math>}}
+=== 大数求和求积 ===
+如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在[[TI-Nspire CAS]]计算器中，默认设置的情况下：
+    {{Code|这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：<math>\sum_{x=1}^{10000} x = 50005000</math>}}
+    {{Code|这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：<math>\sum_{x=1}^{100000000} x = 5000000050000000</math>}}
+== 拥有计算机代数系统的计算器 ==
+{{请勿大量罗列}}
+此处仅列举'''自带'''计算机代数系统的计算器，通过安装[[Add-in|插件]]（如 [[CASIO fx-CG20]] 可以通过安装 [[Eigenmath]] 来实现计算机代数系统）或者某些[[计算器程序|程序]]（如 不带CAS功能的黑白屏 [[TI-84 Plus]] 安装 [[Zoom500]]<ref>[http://www.zoommath.com/products/zoom-math-500-calculus/ Zoom500官方介绍页面]</ref> 来实现计算机代数系统）则不会被列入此列表中。
+=== 卡西欧 ===
+* [[ClassPad]] 系列： [[fx-CP400]], [[ClassPad 330 PLUS]], [[ClassPad 330]], [[ClassPad 300 PLUS]]， [[ClassPad 300]]
+* [[AFX]] 系列： [[ALGEBRA FX 2.0]]， [[ALGEBRA FX 2.0 PLUS]]
+=== 德州仪器 ===
+* [[TI-Nspire CAS]]系列：[[TI-Nspire CAS]]，[[TI-Nspire CX CAS]]，[[TI-Nspire CX-C CAS]]，[[TI-Nspire CM-C CAS]]
+* [[68k]]系列：[[TI-92]]，[[TI-92 Plus]]，[[Voyage 200]]，[[TI-89]]，[[TI-89 Titanium]]
+=== 惠普 ===
+* [[HP-Prime|Prime]] 系列：[[HP-Prime]]
+* [[HP-Apple系列|HP-Apple]] 系列：[[HP-40GS]]，[[HP-50G]]
+''请参考{{分类|拥有计算机代数系统的计算器}}以获取更多相关信息。''
+== 支持计算机代数系统的计算软件 ==
+=== 开源软件 ===
+* [[Xcas]]/[[Giac]]
+* [[Eigenmath]]
+=== 商业软件 ===
+* [[Wolfram Mathematica]]
+* [[Maple]]
+* [[MATLAB]]
+== 参考 ==
+<references />