計算機代數系統

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計算機代數系統（Computer Algebra System, 簡稱 CAS），是以字符串為運算單位的計算軟件，可以進行數學表達式的符號運算。

代數功能

計算機代數系統能計算代數式，與傳統的數值運算不同的是，計算機代數系統把一個字符串（比如 $x$）視作一個「符號」而不是一個「值」。對於計算機來說，下列的算式都屬於代數運算的範疇，都需要計算機代數系統才能計算：

代數式的化簡

最簡單的計算機代數系統示例就是代數式的化簡，好比是數值運算里的 $1+1=2$ 。

$a+a=2a$

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$

代數式的微積分、極限、三角函數、指數函數

$\underset{}{\overset{}{\int }}\sin (\ln (x))dx=\frac{x\sin (\ln (x))}{2}-\frac{x\cos (\ln (x))}{2}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{x}^x=x^x(\ln (x)+1)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin (x)}=1$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-\cos (x)}{x^2}dx=\pi$

代數式的求和與求積

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=-\frac{1}{n}$

多項式的因式分解和展開

$factor(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

$expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))=x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120$

使用特徵方程法求解數列通項公式

$rSolve(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,a_n,[a_1=1,a_2=1])=\frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$

其他功能

有些算式看起來屬於數值運算的範疇，但是它們也需要計算機代數系統才能計算，或者才能得到正確結果。

高精度求值

有時所需要的精度已經遠遠超出了二進制直接處理所能容納的精度，必須把數值作為「符號」看待時，也屬於計算機代數系統的範疇

$2^{2^8}=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936$

精確數值運算

有時候需要把一些類似於 $\pi$、$e$ 的常數代入算式中求值，並將其視作一個特殊的「符號」而不是它的值，或者希望輸出時可以獲取帶有這些常數的結果，如 $\frac{3\pi }{2}$ 時，也屬於計算機代數系統的範疇。

$\sin (2\pi )=0$

${\sin }^{-1}(1)=\frac{\pi }{2}$

需要注意的是，很多函數計算器，比如 CASIO fx-82CN X，TI-36X等，都支持像上面這樣計算算式，但是計算的實質是近似看待，不屬於計算機代數系統的範疇。這種方法有一個 BUG 就是對於某些十分近似的式子產生錯誤的結果：

例如，在 CASIO 的 ES 或者 ClassWiz 系列函數機中，計算下面這個式子，會得到一個含有 $\pi$ 的答案：

$9^{6^{6^{6^{-3}}}}=\frac{346502623}{1680}\pi$

然而這個答案是錯誤的，或者說是不精確的，進過計算可得：

$9^{6^{6^{6^{-3}}}}-\frac{346502623}{1680}\pi \approx 5.21540641785\times 10^{-8}$

大數求和求積

如果數值求和求積並不會以傳統方式進行循環，而是先計算代數結果再代入計算以提高速度，這也屬於計算機代數系統的範疇，例如，在TI-Nspire CAS計算器中，默認設置的情況下：

這個式子將會被視作數值運算並以數值運算方式進行：$\sum _{x=1}^{10000}x=50005000$

這個式子將會被視作代數運算並使用計算機代數系統：$\sum _{x=1}^{100000000}x=5000000050000000$

反函數的抵消

如果數值運算之前，互為反函數的函數會抵消，從而得出精確解，這也屬於計算機代數系統的範疇。

${\sin }^{-1}({\cos }^{-1}({\tan }^{-1}(\tan (\cos (\sin (9))))))=9$

參考文獻

1. 給函數機們出道數學題 - cnCalc論壇