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计算机代数系统：修订间差异

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'''计算机代数系统'''（Computer Algebra System, 简称 [[CAS]]），是以字符串为运算单位的计算软件，可以进行数学表达式的符号运算。
'''计算机代数系统'''（Computer Algebra System, 简称 [[CAS]]），是以字符串为运算单位的计算软件，可以进行数学表达式的符号运算。


== 功能 ==
== 代数功能 ==


计算机代数系统能计算[[代数式]]，与传统的[[数值运算]]不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 <math>x</math>）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：
计算机代数系统能计算[[代数式]]，与传统的[[数值运算]]不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 <math>x</math>）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：
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     {{Code|<math>a+a = 2 a</math>}}
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     {{Code|<math>\sqrt{x^2} = \left\vert x \right\vert</math>}}
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如果数值运算之前，互为反函数的函数会抵消，从而得出精确解，这也属于计算机代数系统的范畴。
 
    {{Code|<math>\sin^{-1}(\cos^{-1}(\tan^{-1}(\tan(\cos(\sin(9)))))) = 9</math>}}
=== 代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数 ===
=== 代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数 ===
     {{Code|<math>\int_{}^{} \sin(\ln(x))\,dx = \frac{x\sin(\ln(x))}{2} - \frac{x\cos(\ln(x))}{2}</math>}}
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     {{Code|<math>\lim_{x \to 0}  \frac{x}{\sin(x)} = 1</math>}}
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=== 代数式的求和与求积 ===
=== 代数式的求和与求积 ===
     {{Code|<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = - \frac{1}{n}</math>}}
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如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在[[TI-Nspire CAS]]计算器中，默认设置的情况下：
 
    {{Code|这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：<math>\sum_{x=1}^{10000} x = 50005000</math>}}
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=== 多项式的因式分解和展开 ===
=== 多项式的因式分解和展开 ===
     {{Code|<math>factor(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)</math>}}
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=== 使用特征方程法求解数列通项公式 ===
=== 使用特征方程法求解数列通项公式 ===
     {{Code|<math>rSolve(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, a_n, [a_1 = 1, a_2 =1]) = \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n</math>}}
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== 其他功能 ==
有些算式看起来属于数值运算的范畴，但是它们也需要计算机代数系统才能执行
=== 高精度求值 ===
=== 高精度求值 ===
有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴
有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴
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=== 精确数值运算 ===
=== 精确数值运算 ===
有时候需要把一些类似于 <math>\pi</math>、<math>e</math> 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 <math>\frac{3 \pi}{2}</math> 时，也属于计算机代数系统的范畴。
有时候需要把一些类似于 <math>\pi</math>、<math>e</math> 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 <math>\frac{3 \pi}{2}</math> 时，也属于计算机代数系统的范畴。
     {{Code|<math>\sin(2 \pi) = 0</math>}}
     {{Code|<math>\sin(2 \pi) = 0</math>}}
     {{Code|<math>\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}</math>}}
     {{Code|<math>\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}</math>}}
需要注意的是，很多函数计算器，比如 [[CASIO fx-82CN X]]，[[TI-36X]]等，都支持像上面这样计算算式，但是计算的实质是近似看待，'''不属于'''计算机代数系统的范畴。这种方法有一个 BUG 就是对于某些十分近似的式子产生错误的结果：
例如，在 CASIO 系列函数机中，计算下面这个式子，会得到一个含有 <math>\pi</math> 的答案：
    {{Code|<math>9^{6^{6^{6^{-3}}}} = \frac{346502623}{1680} \pi</math>}}
然而这个答案是'''{{Color|red|错误}}'''的，或者说是'''{{Color|red|不精确}}'''的，进过计算可得：
    {{Code|<math>9^{6^{6^{6^{-3}}}} - \frac{346502623}{1680} \pi \approx 5.21540641785 \times 10^{-8}</math>}}
=== 大数求和求积 ===
如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在[[TI-Nspire CAS]]计算器中，默认设置的情况下：
    {{Code|这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：<math>\sum_{x=1}^{10000} x = 50005000</math>}}
    {{Code|这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：<math>\sum_{x=1}^{100000000} x = 5000000050000000</math>}}
=== 反函数的抵消 ===
如果数值运算之前，互为反函数的函数会抵消，从而得出精确解，这也属于计算机代数系统的范畴。
    {{Code|<math>\sin^{-1}(\cos^{-1}(\tan^{-1}(\tan(\cos(\sin(9)))))) = 9</math>}}
== 参考 ==
# [http://www.cncalc.org/thread-9900-1-1.html 给函数机们出道数学题 - cnCalc论坛]

2016年2月20日 (六) 08:07的版本

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计算机代数系统（Computer Algebra System, 简称 CAS），是以字符串为运算单位的计算软件，可以进行数学表达式的符号运算。

代数功能

计算机代数系统能计算代数式，与传统的数值运算不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 x）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：

代数式的化简

最简单的计算机代数系统示例就是代数式的化简，好比是数值运算里的 1+1=2 。

a+a=2a
x2=|x|

代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数

∫sin⁡(ln⁡(x))dx=xsin⁡(ln⁡(x))2−xcos⁡(ln⁡(x))2
d⁡yd⁡xxx=xx(ln⁡(x)+1)
limx→0xsin⁡(x)=1
∫−∞+∞1−cos⁡(x)x2dx=π

代数式的求和与求积

∑k=1n1k(k+1)=−1n

多项式的因式分解和展开

factor(x5−15x4+85x3−225x2+274x−120)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)
expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))=x5+15x4+85x3+225x2+274x+120

使用特征方程法求解数列通项公式

rSolve(an+2=an+1+an,an,[a1=1,a2=1])=55(1+52)n−55(1−52)n

其他功能

有些算式看起来属于数值运算的范畴，但是它们也需要计算机代数系统才能执行

高精度求值

有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴

228=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936

精确数值运算

有时候需要把一些类似于 π、e 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 3π2 时，也属于计算机代数系统的范畴。

sin⁡(2π)=0
sin−1(1)=π2

需要注意的是，很多函数计算器，比如 CASIO fx-82CN X，TI-36X等，都支持像上面这样计算算式，但是计算的实质是近似看待，不属于计算机代数系统的范畴。这种方法有一个 BUG 就是对于某些十分近似的式子产生错误的结果：

例如，在 CASIO 系列函数机中，计算下面这个式子，会得到一个含有 π 的答案：

9666−3=3465026231680π

然而这个答案是错误的，或者说是不精确的，进过计算可得：

9666−3−3465026231680π≈5.21540641785×10−8

大数求和求积

如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在TI-Nspire CAS计算器中，默认设置的情况下：

这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：∑x=110000x=50005000
这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：∑x=1100000000x=5000000050000000

反函数的抵消

如果数值运算之前，互为反函数的函数会抵消，从而得出精确解，这也属于计算机代数系统的范畴。

sin−1(cos−1(tan−1(tan⁡(cos⁡(sin⁡(9))))))=9

参考

  1. 给函数机们出道数学题 - cnCalc论坛
检索自“https://calcwiki.org/index.php?title=计算机代数系统&oldid=4809”