计算机代数系统：修订间差异

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2016年2月20日 (六) 07:24的版本

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计算机代数系统（Computer Algebra System, 简称 CAS），是以字符串为运算单位的计算软件，可以进行数学表达式的符号运算。

功能

计算机代数系统能计算代数式，与传统的数值运算不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 $x$ ）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：

代数式的化简

最简单的计算机代数系统示例就是代数式的化简，好比是数值运算里的 $1 + 1 = 2$ 。

a+a=2a

x2=|x|

如果数值运算之前，互为反函数的函数会抵消，从而得出精确解，这也属于计算机代数系统的范畴。

sin−1(cos−1(tan−1(tan⁡(cos⁡(sin⁡(9))))))=9

代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数

∫sin⁡(ln⁡(x))dx=xsin⁡(ln⁡(x))2−xcos⁡(ln⁡(x))2

d⁡yd⁡xxx=xx(ln⁡(x)+1)

limx→0xsin⁡(x)=1

∫−∞+∞1−cos⁡(x)x2dx=π

代数式的求和与求积

∑k=1n1k(k+1)=−1n

如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在TI-Nspire CAS计算器中，默认设置的情况下：

这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：∑x=110000x=50005000

这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：∑x=1100000000x=5000000050000000

多项式的因式分解和展开

factor(x5−15x4+85x3−225x2+274x−120)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)

expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))=x5+15x4+85x3+225x2+274x+120

使用特征方程法求解数列通项公式

rSolve(an+2=an+1+an,an,[a1=1,a2=1])=55(1+52)n−55(1−52)n

高精度求值

有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴

228=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936

精确数值运算

有时候需要把一些类似于 $π$ 、 $e$ 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 $\frac{3 π}{2}$ 时，也属于计算机代数系统的范畴。

sin⁡(2π)=0

sin−1(1)=π2

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-{{施工中|4小时}}
+{{尚未完工}}
 '''计算机代数系统'''（Computer Algebra System, 简称 [[CAS]]），是以字符串为运算单位的计算软件，可以进行数学表达式的符号运算。
-== 简介 ==
+== 功能 ==
-计算机代数系统能计算[[代数式]]，与传统的数值运算不同的是，它支持把一个字符串视作一个“表达式”而不是一个“值”。例如，下面的算式就是代数运算：
+计算机代数系统能计算[[代数式]]，与传统的[[数值运算]]不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 <math>x</math>）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：
-*代数式化简
+=== 代数式的化简 ===
+最简单的计算机代数系统示例就是代数式的化简，好比是数值运算里的 <math>1 + 1 = 2</math> 。
      {{Code|<math>a+a = 2 a</math>}}
      {{Code|<math>\sqrt{x^2} = \left\vert x \right\vert</math>}}
-*微积分、极限、三角函数、指数函数等
+如果数值运算之前，互为反函数的函数会抵消，从而得出精确解，这也属于计算机代数系统的范畴。
+    {{Code|<math>\sin^{-1}(\cos^{-1}(\tan^{-1}(\tan(\cos(\sin(9)))))) = 9</math>}}
+=== 代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数 ===
      {{Code|<math>\int_{}^{} \sin(\ln(x))\,dx = \frac{x\sin(\ln(x))}{2} - \frac{x\cos(\ln(x))}{2}</math>}}
      {{Code|<math>{\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!x} x^x = x^x (\ln(x)+1) </math>}}
      {{Code|<math>\lim_{x \to 0}  \frac{x}{\sin(x)} = 1</math>}}
      {{Code|<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^2}\,dx = \pi</math>}}
-*求和与求积
+=== 代数式的求和与求积 ===
      {{Code|<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = - \frac{1}{n}</math>}}
-*多项式因式分解和展开
+如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在[[TI-Nspire CAS]]计算器中，默认设置的情况下：
+    {{Code|这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：<math>\sum_{x=1}^{10000} x = 50005000</math>}}
+    {{Code|这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：<math>\sum_{x=1}^{100000000} x = 5000000050000000</math>}}
+=== 多项式的因式分解和展开 ===
      {{Code|<math>factor(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)</math>}}
      {{Code|<math>expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)) = x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120</math>}}
-*使用特征方程法求解数列通项公式
+=== 使用特征方程法求解数列通项公式 ===
      {{Code|<math>rSolve(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, a_n, [a_1 = 1, a_2 =1]) = \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n</math>}}
-*高精度求值
+=== 高精度求值 ===
+有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴
      {{Code|<math>2^{2^{8}} = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936</math>}}
+=== 精确数值运算 ===
+有时候需要把一些类似于 <math>\pi</math>、<math>e</math> 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 <math>\frac{3 \pi}{2}</math> 时，也属于计算机代数系统的范畴。
+    {{Code|<math>\sin(2 \pi) = 0</math>}}
+    {{Code|<math>\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}</math>}}