计算机代数系统

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计算机代数系统（Computer Algebra System, 简称 CAS），是以字符串为运算单位的计算软件，可以进行数学表达式的符号运算。

代数功能

计算机代数系统能计算代数式，与传统的数值运算不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 $x$）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：

代数式的化简

最简单的计算机代数系统示例就是代数式的化简，好比是数值运算里的 $1+1=2$ 。

$a+a=2a$

$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$

代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数

$\underset{}{\overset{}{\int }}\sin (\ln (x))dx=\frac{x\sin (\ln (x))}{2}-\frac{x\cos (\ln (x))}{2}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{x}^x=x^x(\ln (x)+1)$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin (x)}=1$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-\cos (x)}{x^2}dx=\pi$

代数式的求和与求积

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=-\frac{1}{n}$

多项式的因式分解和展开

$factor(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

$expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))=x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120$

使用特征方程法求解数列通项公式

$rSolve(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,a_n,[a_1=1,a_2=1])=\frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n$

其他功能

有些算式看起来属于数值运算的范畴，但是它们也需要计算机代数系统才能计算，或者得到正确结果。

高精度求值

有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴

$2^{2^8}=115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936$

精确数值运算

有时候需要把一些类似于 $\pi$、$e$ 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 $\frac{3\pi }{2}$ 时，也属于计算机代数系统的范畴。

$\sin (2\pi )=0$

${\sin }^{-1}(1)=\frac{\pi }{2}$

需要注意的是，很多函数计算器，比如 CASIO fx-82CN X，TI-36X等，都支持像上面这样计算算式，但是计算的实质是近似看待，不属于计算机代数系统的范畴。这种方法有一个 BUG 就是对于某些十分近似的式子产生错误的结果：

例如，在 CASIO 的 ES 或者 ClassWiz 系列函数机中，计算下面这个式子，会得到一个含有 $\pi$ 的答案：

$9^{6^{6^{6^{-3}}}}=\frac{346502623}{1680}\pi$

然而这个答案是错误的，或者说是不精确的，进过计算可得：

$9^{6^{6^{6^{-3}}}}-\frac{346502623}{1680}\pi \approx 5.21540641785\times 10^{-8}$

大数求和求积

如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在TI-Nspire CAS计算器中，默认设置的情况下：

这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：$\sum _{x=1}^{10000}x=50005000$

这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：$\sum _{x=1}^{100000000}x=5000000050000000$

反函数的抵消

如果数值运算之前，互为反函数的函数会抵消，从而得出精确解，这也属于计算机代数系统的范畴。

${\sin }^{-1}({\cos }^{-1}({\tan }^{-1}(\tan (\cos (\sin (9))))))=9$

参考

1. 给函数机们出道数学题 - cnCalc论坛