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'''计算机代数系统'''（Computer Algebra System, 简称 [[CAS]]），计算机代数(Computer Algebra)在很多时候又被广义地理解为“符号计算”(Symbolic Computation), 成为与所谓“[[数值计算]]”(Numerical Computation)相对的概念。“符号”的运算在这里代替了“数”的运算。符号可以代表整数, 有理数, 实数和复数, 也可以代表多项式, 函数, 还可以代表数学结构如集合, 群, 环, 代数等等。我们在学习和研究中用笔和纸进行的数学运算多为符号运算。

== 代数功能 ==

计算机代数系统能计算[[代数式]]，与传统的[[数值运算]]不同的是，计算机代数系统把一个字符串（比如 <math>x</math>）视作一个“符号”而不是一个“值”。对于计算机来说，下列的算式都属于代数运算的范畴，都需要计算机代数系统才能计算：

=== 代数式的化简 ===
最简单的计算机代数系统示例就是代数式的化简，好比是数值运算里的 <math>1 + 1 = 2</math> 。
    {{Code|<math>a+a = 2 a</math>}}
    {{Code|<math>\sqrt{x^2} = \left\vert x \right\vert</math>}}

=== 代数式的微积分、极限、三角函数、指数函数 ===
    {{Code|<math>\int_{}^{} \sin(\ln(x))\,dx = \frac{x\sin(\ln(x))}{2} - \frac{x\cos(\ln(x))}{2}</math>}}
    {{Code|<math>{\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!x} x^x = x^x (\ln(x)+1) </math>}}
    {{Code|<math>\lim_{x \to 0}  \frac{x}{\sin(x)} = 1</math>}}
    {{Code|<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{x^2}\,dx = \pi</math>}}

=== 代数式的求和与求积 ===
    {{Code|<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = - \frac{1}{n}</math>}}

=== 多项式的因式分解和展开 ===
    {{Code|<math>factor(x^5-15x^4+85x^3-225x^2+274x-120) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)</math>}}
    {{Code|<math>expand((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)) = x^5+15x^4+85x^3+225x^2+274x+120</math>}}

=== 使用特征方程法求解数列通项公式 ===
    {{Code|<math>rSolve(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n, a_n, [a_1 = 1, a_2 =1]) = \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - \frac{\sqrt{5}}{5}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n</math>}}

=== 矩阵的超越函数 ===
    {{Code|<math>\sqrt{\begin{pmatrix}1 & 4 \\6 & 3\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}\frac{2\sqrt{7} + 3\sqrt{3}i}{5} & \frac{2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}i}{5}\\ \frac{3\sqrt{7} - 3\sqrt{3}i}{5} & \frac{3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}i}{5}\end{pmatrix}</math>}}

== 其他功能 ==
有些算式看起来属于数值运算的范畴，但是它们也需要计算机代数系统才能计算，或者才能得到正确结果。

=== 高精度求值 ===
有时所需要的精度已经远远超出了二进制直接处理所能容纳的精度，必须把数值作为“符号”看待时，也属于计算机代数系统的范畴
    {{Code|<math>2^{2^{8}} = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639936</math>}}

=== 精确数值运算 ===
有时候需要把一些类似于 <math>\pi</math>、<math>e</math> 的常数代入算式中求值，并将其视作一个特殊的“符号”而不是它的值，或者希望输出时可以获取带有这些常数的结果，如 <math>\frac{3 \pi}{2}</math> 时，也属于计算机代数系统的范畴。
    {{Code|<math>\sin(2 \pi) = 0</math>}}
    {{Code|<math>\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}</math>}}
需要注意的是，很多函数计算器，比如 [[CASIO fx-82CN X]]，[[CASIO fx-82ES]]，[[TI-36X]]等，都支持像上面这样计算算式，但是计算的实质是近似看待，'''不属于'''计算机代数系统的范畴。例如，这些计算器在计算的时候，'''只能显示带一重根号或带有 <math>\pi</math> 的结果'''，而不能显示带多重根号的结果：
    {{Code|<math>\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}
    {{Code|<math>\sin^{-1}(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) = \frac{1}{8}\pi</math>}}
    {{Code|<math>\sin(\frac{\pi}{8}) = 0.3826834324</math>}}

另一个表现就是对于某些十分近似的式子可能会产生错误的结果：<ref>[http://www.cncalc.org/thread-9900-1-1.html 给函数机们出道数学题 - cnCalc论坛]</ref>

例如，在 CASIO 的 [[ES]] 或者 [[ClassWiz]] 系列函数机中，计算下面这个式子，会得到一个含有 <math>\pi</math> 的答案：
    {{Code|<math>9^{6^{6^{6^{-3}}}} = \frac{346502623}{1680} \pi</math>}}
然而这个答案是'''{{Color|red|错误}}'''的，或者说是'''{{Color|red|不精确}}'''的，经过计算可得：
    {{Code|<math>9^{6^{6^{6^{-3}}}} - \frac{346502623}{1680} \pi \approx 5.21540641785 \times 10^{-8}</math>}}

=== 大数求和求积 ===
如果数值求和求积并不会以传统方式进行循环，而是先计算代数结果再代入计算以提高速度，这也属于计算机代数系统的范畴，例如，在[[TI-Nspire CAS]]计算器中，默认设置的情况下：
    {{Code|这个式子将会被视作数值运算并以数值运算方式进行：<math>\sum_{x=1}^{10000} x = 50005000</math>}}
    {{Code|这个式子将会被视作代数运算并使用计算机代数系统：<math>\sum_{x=1}^{100000000} x = 5000000050000000</math>}}

== 拥有计算机代数系统的计算器 ==
{{请勿大量罗列}}

此处仅列举'''自带'''计算机代数系统的计算器，通过安装[[Add-in|插件]]（如 [[CASIO fx-CG20]] 可以通过安装 [[Eigenmath]] 来实现计算机代数系统）或者某些[[计算器程序|程序]]（如 不带CAS功能的黑白屏 [[TI-84 Plus]] 安装 [[Zoom500]]<ref>[http://www.zoommath.com/products/zoom-math-500-calculus/ Zoom500官方介绍页面]</ref> 来实现计算机代数系统）则不会被列入此列表中。

=== 卡西欧 ===
* [[ClassPad]] 系列： [[fx-CP400]], [[ClassPad 330 PLUS]], [[ClassPad 330]], [[ClassPad 300 PLUS]]， [[ClassPad 300]]
* [[AFX]] 系列： [[ALGEBRA FX 2.0]]， [[ALGEBRA FX 2.0 PLUS]]

=== 德州仪器 ===
* [[TI-Nspire CAS]]系列：[[TI-Nspire CAS]]，[[TI-Nspire CX CAS]]，[[TI-Nspire CX-C CAS]]，[[TI-Nspire CM-C CAS]]
* [[68k]]系列：[[TI-92]]，[[TI-92 Plus]]，[[Voyaga 200]]，[[TI-89]]，[[TI-89 Titanium]]

=== 惠普 ===
* [[HP-Prime Prime]] 系列：[[HP-Prime]]
* [[HP-Apple]] 系列：[[HP-50G]]

''请参考{{分类|拥有计算机代数系统的计算器}}以获取更多相关信息。''

== 支持计算机代数系统的计算软件 ==

=== 开源软件 ===
* [[Xcas]]/[[Giac]]
* [[Eigenmath]]

=== 商业软件 ===
* [[Wolfram Mathematica]]
* [[Maple]]
* [[MATLAB]]

== 参考 ==
<references />